Коротко

  • В общем виде ожидание — сумма «вероятность × исход» по всем возможным исходам.
  • Для двух исходов можно записать: вероятность выигрыша × средний выигрыш минус вероятность проигрыша × средний проигрыш.
  • Положительное ожидание в выбранной выборке не является прогнозом каждой следующей сделки.
  • Издержки, размер выборки, изменение режима рынка и разброс результатов могут изменить практический вывод.
  • Ожидание нужно читать вместе с просадкой, числом сделок и условиями, на которых оно рассчитано.

Идея взвешенного среднего

Среднее арифметическое отвечает на вопрос «каков средний исход наблюдений?». Математическое ожидание добавляет к каждому исходу его вероятность или долю наблюдений. OpenStax описывает его как взвешенное среднее и записывает в виде E(X) = Σ pᵢ × xᵢ, где pᵢ — вероятность исхода, а xᵢ — значение исхода (Probability Distributions). В реальном анализе вероятности часто оценивают по исторической выборке, поэтому качество данных и способ её формирования становятся частью вывода.

Для торговой серии удобно нормировать результат в единицах R, где 1R — заранее определённый риск одной сделки. Это не обязательный стандарт и не делает результаты сопоставимыми автоматически: нужно одинаково определить, что считается риском, как учитываются расходы и какие сделки входят в выборку.

Двухисходная формула

Если упростить сделку до выигрыша и проигрыша, то:

E = P(win) × Avg(win) − P(loss) × Avg(loss)

Здесь Avg(loss) записывается как положительная величина, а знак минус показывает направление результата. Если учитывать несколько исходов, добавляются отдельные вероятности и результаты — например, малый убыток, небольшой выигрыш и редкий крупный выигрыш.

Формула описывает средний результат на одну операцию при заданном распределении. Она не говорит, будут ли первые пять сделок убыточными, сколько продлится серия потерь или в какой момент возникнет максимальная просадка.

Синтетический пример в R

Пусть в учебной модели:

  • вероятность положительного исхода — 40%;
  • средний выигрыш — +2R;
  • вероятность отрицательного исхода — 60%;
  • средний проигрыш — −1R.

Тогда ожидание до расходов равно 0,40 × 2R − 0,60 × 1R = +0,20R на сделку.

Это только арифметика условной модели. Если добавить комиссию, спред и проскальзывание, фактическое ожидание уменьшится. Если поменяются частота сигналов, распределение исходов или размер позиции, изменится и результат. Даже неизменное среднее может сопровождаться очень разными последовательностями и просадками.

Числа синтетические: они не описывают статистику ARM, не являются результатом теста и не предсказывают будущие сделки.

Среднее не равно следующему результату

Ожидание — свойство распределения или серии при определённых допущениях, а не обещание ближайшего исхода. В короткой выборке несколько необычно крупных результатов могут сильно сдвинуть среднее. В длинной серии результат может долго отклоняться от среднего из-за случайной последовательности, кластеризации убытков или смены рыночного режима.

Поэтому полезно дополнительно смотреть на:

  • число наблюдений и их распределение по времени;
  • медиану и квантили результата;
  • размер крупнейшего выигрыша и проигрыша;
  • последовательности отрицательных исходов;
  • просадку и время восстановления;
  • чувствительность к расходам и изменению исполнения;
  • разделение периодов, которые использовались для настройки и проверки.

Эти показатели не «исправляют» ожидание, а показывают, насколько среднее скрывает форму распределения.

Какие вопросы задавать расчёту

У каждого числа ожидания есть область применимости. Стоит спросить:

  1. Как определён исход — по закрытой сделке, equity или другой величине?
  2. Включены ли комиссии, спред, свопы и проскальзывание?
  3. Как формировалась выборка и не смешаны ли разные режимы?
  4. Одинаковы ли правила размера позиции и единицы R?
  5. Сколько наблюдений нужно, чтобы вывод не зависел от нескольких сделок?
  6. Какой разброс и какая последовательность потерь допустимы для процесса?

Если на эти вопросы нет ответа, знак «плюс» или «минус» в одной строке не даёт достаточного контекста.

Что проверить самостоятельно

  • Выписать все типы исходов и их доли в выбранной выборке.
  • Посчитать средний положительный и отрицательный исход отдельно.
  • Пересчитать формулу с расходами, а не только с валовым результатом.
  • Проверить результат на другой временной части данных.
  • Сопоставить ожидание с просадкой и серией убыточных исходов.
  • Отметить, какие параметры были заданы до наблюдения, а какие подобраны после.

Ограничения и итог

Математическое ожидание — компактный язык для среднего результата распределения. Оно полезно, когда ясно, откуда взялись вероятности, исходы и расходы. Но оно не заменяет анализ пути, разброса, ликвидности и исполнения. Положительное ожидание в исторической выборке — повод продолжить проверку допущений, а не основание делать вывод о будущем результате.